Узнайте подробнее о Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

x^2=289\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=17, \hfill \\ x=-17. \end{array} \right.

Исследуем знаки производной.

В точке $x = 17$ производная $y$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= 17$ — точка максимума функции $y(x).$

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

4x-5+{{1}\over{x}}=0\Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=1, \\ x={{1}\over{4}}. \end{array} \right.

Определим знаки производной.

В точке $x = 1$ производная $y$ меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x= 1$ — точка минимума функции $y(x).$

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция $y=2^t$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ .будет при том же $x_0$ , что и точка максимума функции $t\left(x\right)=5-8x-x^2.$ А ее найти легко.

$t^{$ при $x=-4$ . В точке $x = -4$ производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= - 4$ — точка максимума функции ${ t}\left({ x}\right)$ .

Заметим, что точку максимума функции $t\left(x\right)=5-8x-x^2$ можно найти и без производной.

Графиком функции $t\left(x\right)$ является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение $t\left(x\right)$ достигается в вершине параболы, то есть при $x=-\frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по $X.$

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция $y=\sqrt{z}$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции $t\left(x\right)=4-4x-x^2.$

Это вершина квадратичной параболы $t\left(x\right)=4-4x-x^2;x_0=\frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции $y=x^3+2x^2-4x+4$ с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

D=64;x=\frac{-4\pm 8}{6};x_1=\frac{2}{3},x_2=-2.

Найдем знаки производной.

В точке $x = - 2$ производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции $y(x)$ . Поскольку при $x\in [-2;0]$ функция $y(x)$ убывает, $y_{max}\left(x\right)=y\left(-2\right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

$y$ при $x_1=1,x_2=\frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка $x_1=1$ — точка минимума функции $y\left(x\right)$ . Точка $x_2=\frac{1}{4}$ не лежит на отрезке $[0,3;1].$ Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке $\left[0,3;1\right]$ достигается при $x=1.$ Найдем это значение.

y_{min}\left(x\right)=y\left(1\right)=4-10-5=-11

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3=9x-{\ln 9-{\ln x}}+3.

Мы применили формулу для логарифма произведения. $y$ при $x=\frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=\frac{1}{9}$ — точка минимума функции $y(x)$ . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $\left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].$

y_{min}\left(x\right)=y\left(\frac{1}{2}\right)=1+3=4

Ответ: 4

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции $y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11.$ $y$

Приравняем производную к нулю: $14-\frac{7}{{cos}^2x}=0$

${cos}^2x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $x\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right], y$ если $x=\pm \frac{\pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $\left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].$

При $x=\frac{\pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=\frac{\pi }{4}$ — точка максимума функции $y(x).$

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-\frac{\pi }{3}$ и $x =\frac{\pi }{4}.$

Мы нашли, что $y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-\frac{\pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

$y$ если $e^x=4.$ Тогда $x=ln4.$

При $x=ln4$ знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, $x=ln4$ — точка минимума функции $y(x).$ $y\left(ln4\right)=4^2-8\cdot 4+9=16-32+9=-7.$

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ . На этом отрезке условие $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=\frac{\pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=\frac{\pi }{3}.$

В точке $x_0=\frac{\pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=\frac{\pi }{3}$ — точка максимума функции $y(x)$ . Других точек экстремума на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции ${ y=12cosx+6}\sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}\sqrt{{ 3}}{ }\pi { +6}$ на отрезке $\left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right]$ достигается при ${ x=}\frac{\pi }{{ 3}}.$

$y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=12.$ Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции $y=16x-6sinx+6$ не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку $cosx\le 1$ , получим, что для всех $x$ , и функция $y\left(x\right)=16x-6sinx+6$ монотонно возрастает при $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right].$