Основные тригонометрические тождества

Итак, напомним, что при рассмотрении тригонометрических функций, мы используем единичную окружность, с радиусом, равным единице.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник, полученный в результате движения радиус-вектора на некоторый угол.

К прямоугольному треугольнику применима теорема Пифагора, в соответствии с которой квадрат гипотенузы будет равен сумме квадратов остальных сторон треугольника. Так как мы знаем, что синусу соответствует значение ординаты на плоскости, то есть величина противолежащего катета, а косинусу значение абсциссы (прилежащего катета). Так же нам известно, что гипотенуза треугольника является радиусом окружности, длина которого равна единицы, то теорему Пифагора можем получить в следующем виде:

Остальные тригонометрические тождества мы можем получить, зная определение тангенса и котангенса.

Давайте перемножим первое и второе уравнение и посмотрим, что получилось. В результате данного математического действия получим, что произведение тангенса на котангенс равно единице:

А теперь давайте возьмем первое основное тождество и почленно разделим все на cos2α или на sin2α. В результате этого получим:

Первое тождество справедливо для всех углов. Остальные же используются исключительно при углах, синус и косинус которых не равен 0.