Позиционные системы счисления

Под позиционными системами счисления понимают такие системы, в которых одна и та же цифра может обозначать различные числа в зависимости от того места, на котором эта цифра стоит.

Давайте рассмотрим основную терминологию для позиционного счисления:

Основание – это количество знаков, которые используются в выбранной системе счисления.

Разряд – это место цифры в некотором числе, чем правее находится цифра в числе, тем меньший у нее разряд.

При записи чисел в различных системах счисления используют развернутую запись числа – это сумма множителей цифр.

Общая формула развернутой записи для произвольной позиционной системы счисления:

X — число;

a — цифры численной записи;

i — индекс;

m — количество разрядов дробной части числа;

n — количество разрядов целой части числа;

q — основание системы счисления.

Например, для записи числа 15,67 в развернутом виде десятичной системы счисления мы получим следующее:

15,67 = 1*101 + 5*100 + 6*10-1 + 10-2.

Если число необходимо записать в систему счисления с основанием большим за 10, то принято использовать буквы. Например, если некоторое число необходимо записать в развернутом виде в шестнадцатеричной системе счисления, то следует использовать следующие знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

К примеру, запишем число 7А,5В12:

Мы помним, что в двенадцатеричной системе счисления 10=А, 11=В. Учитывая это запишем:

7А,5В12 = В*12-2 + 5*12-1 + А*120+ 7*121

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Как уже было сказано в предыдущем вопросе, при необходимости можно перевести число из одной системы счисления в любую другую. Чтобы перевести число из десятичной СС в любую другую, необходимо делить заданное число на основание системы исчисления до тех пор, пока не будет получен нуль.

Все цифры, которые будут получены в результате деления в качестве остатка, необходимо записать последовательно. Запись из последовательных цифры и будет кодированием числа в любую систему исчисления.

Если же необходимо перевести дробное число в произвольную систему исчисления, то наоборот необходимо умножать его на основание до тех пор, пока не получится нуль. Каждую новую целую часть необходимо последовательно записать в запись в новой системе исчисления.